Arzt lässt ChatGPT 16 h rechnen und löst 22 Jahre altes Matheproblem
Seit 22 Jahren war die Crouzeix-Vermutung ungelöst. Nun liefert ein Arzt mit Hilfe von ChatGPT einen offenbar korrekten Beweis.
Ein Neurochirurg lässt ChatGPT 16 Stunden autonom an einem seit 2004 offenen Mathematikproblem arbeiten. Drei Mathematiker halten den Beweis für korrekt.
Foto: Smarterpix / olanstock
Seit 2004 beschäftigt eine Vermutung über Matrizen Fachleute aus der numerischen linearen Algebra. Nun hat der chinesische Arzt Shanmu Jin einen Beweis vorgelegt. Die entscheidende mathematische Idee entstand nach seinen Angaben während eines rund 16-stündigen autonomen Laufs von ChatGPT. Drei Mathematiker haben den Beweis inzwischen geprüft und halten ihn für korrekt. Ein formales Peer Review steht allerdings noch aus.
Jin arbeitet als Postdoktorand und Arzt in neurochirurgischer Weiterbildung am Peking Union Medical College Hospital. Eine klassische Mathematikerkarriere hat er nicht hinter sich. Er studierte zunächst Geologie und anschließend Medizin. Weiterführende Mathematik eignete er sich nach eigenen Angaben weitgehend selbst an.
Über seine Forschung an transkraniellem Ultraschall kam er zur Matrixanalyse. Dort stieß er auf die Crouzeix-Vermutung – und ließ ChatGPT nach einem Beweis suchen.
Inhaltsverzeichnis
- Worum geht es bei der Crouzeix-Vermutung?
- ChatGPT sollte mehrere Beweiswege gleichzeitig verfolgen
- Die entscheidende Beweisidee stammt laut Jin von ChatGPT
- Michel Crouzeix hält den Beweis für korrekt
- Warum das Problem auch für Ingenieure relevant ist
- Acht Tage später liegt noch ein zweiter Beweis vor
Worum geht es bei der Crouzeix-Vermutung?
Die Crouzeix-Vermutung betrifft quadratische komplexe Matrizen und insbesondere sogenannte nichtnormale Matrizen. Bei ihnen reichen die Eigenwerte häufig nicht aus, um ihr Verhalten zuverlässig abzuschätzen.
Mathematiker betrachten deshalb zusätzlich den numerischen Wertebereich. Dabei handelt es sich um eine kompakte, konvexe Menge in der komplexen Zahlenebene, die sämtliche Eigenwerte der Matrix enthält.
Michel Crouzeix stellte 2004 die Vermutung auf, dass dieser Wertebereich eine erstaunlich starke Abschätzung ermöglicht. Vereinfacht gesagt:
Kennt man den numerischen Wertebereich einer Matrix, reicht der Faktor 2 aus, um die Größe bestimmter Funktionen dieser Matrix nach oben abzuschätzen.
Für ein Polynom (p) lässt sich das so schreiben:
‖p(A)‖ ≤ 2 · max |p(z)|
wobei (z) aus dem numerischen Wertebereich von (A) stammt.
Dass irgendeine universelle Grenze existiert, war bereits bekannt. Crouzeix hatte zunächst einen Faktor von 11,08 bewiesen. Gemeinsam mit César Palencia verbesserte er die obere Schranke 2017 auf
1 + √2 ≈ 2,414.
Die vermutete optimale Grenze von 2 blieb jedoch unerreicht.
Das Problem war keineswegs eine mathematische Randnotiz. Das American Institute of Mathematics widmete der Crouzeix-Vermutung 2017 einen eigenen mehrtägigen Workshop.
ChatGPT sollte mehrere Beweiswege gleichzeitig verfolgen
Jin stellte ChatGPT nicht einfach die Frage, ob es die Vermutung beweisen könne. Er verwendete einen ausführlichen Forschungs-Prompt, der das System dazu bringen sollte, möglichst unterschiedliche Lösungswege zu verfolgen.
Nach der Darstellung der Mathematiker Alex Townsend und Anne Greenbaum arbeiteten mehrere KI-Subagenten parallel an verschiedenen Strategien. Die Ansätze sollten anschließend kritisch geprüft und auf mögliche Gegenbeispiele getestet werden.
Der Prompt sollte außerdem verhindern, dass sich alle Agenten zu früh auf denselben scheinbar vielversprechenden Lösungsweg festlegten. Jin startete den Lauf und griff anschließend nach eigenen Angaben rund 16 h lang nicht ein. Das verwendete System war GPT-5.6 Sol im ChatGPT-Work-Modus.
Der Zugriff auf das öffentliche Web und andere externe Quellen war während des Laufs gesperrt. Das Modell sollte also keine Lösung recherchieren, sondern aus seinem vorhandenen Kontext Beweisstrategien erzeugen.
Die entscheidende Beweisidee stammt laut Jin von ChatGPT
Welche Rolle die KI spielte, beschreibt Jin in seinem Preprint ungewöhnlich offen.
ChatGPT schlug demnach vor, einen sogenannten matrixwertigen Herglotz-Kernel an speziell ausgewählten Punkten auszuwerten. Dazu gehörten bestimmte skalierte konjugierte Eigenwerte sowie der Ursprung.
Das klingt zunächst abstrakt. Entscheidend ist die Wirkung dieses Schritts: Durch die Auswahl der Punkte fällt ein Korrekturterm weg, und ein schwieriger Teil des Problems lässt sich auf eine einfachere Positivitätsbedingung zurückführen.
Townsend und Greenbaum sehen genau darin den zentralen Schritt des neuen Beweises.
ChatGPT half laut Jin außerdem beim Schreiben, bei Literaturangaben und beim Satz des Manuskripts. Für die mathematische Korrektheit übernimmt Jin selbst die Verantwortung.
Die Aussage, ChatGPT habe die Crouzeix-Vermutung vollständig allein gelöst, wäre deshalb zu weitgehend. Jin wählte das Problem aus, entwickelte den Versuchsaufbau, formulierte den Prompt, prüfte die Ergebnisse und machte daraus eine wissenschaftliche Arbeit. Die zentrale neue Beweisidee schreibt er jedoch ausdrücklich der KI zu.
Michel Crouzeix hält den Beweis für korrekt
Bei angeblichen Lösungen langjähriger mathematischer Probleme ist Vorsicht angebracht. Sprachmodelle können Beweise erzeugen, die schlüssig klingen und dennoch Fehler enthalten.
Townsend hatte ChatGPT selbst zuvor wiederholt auf die Crouzeix-Vermutung angesetzt. Nach seiner Darstellung endeten diese Versuche entweder mit falschen Beweisen oder mit Argumentationen, bei denen ein entscheidender Zwischenschritt fehlte.
Jins Manuskript hielt einer genaueren Prüfung dagegen stand.
Townsend und Greenbaum schreiben, sie hätten den Beweis gründlich geprüft. Auch Michel Crouzeix, auf den die Vermutung zurückgeht, habe das Manuskript untersucht. Alle drei halten den Beweis für korrekt.
Warum das Problem auch für Ingenieure relevant ist
Die Crouzeix-Vermutung gehört zur Grundlagenmathematik. Ihr Umfeld ist für technische Berechnungen dennoch relevant.
Abschätzungen dieser Art spielen bei Matrixfunktionen und numerischen Lösungsverfahren eine Rolle. Townsend und Greenbaum nennen unter anderem GMRES sowie polynomiale und rationale Krylov-Verfahren.
Solche Verfahren werden eingesetzt, um sehr große lineare Gleichungssysteme numerisch zu lösen. Sie begegnen Ingenieuren unter anderem bei Simulationen, bei denen nach der Diskretisierung eines physikalischen Problems große Matrizensysteme entstehen.
Acht Tage später liegt noch ein zweiter Beweis vor
Jins Arbeit ist nicht der einzige neue Beweis. Am 4. August 2026 veröffentlichten Emiel Lorist von der TU Delft und Felix Schwenninger von der Universität Twente einen unabhängigen Beweis der Crouzeix-Vermutung auf arXiv.
Ihre Arbeit umfasst nur wenige Seiten und verfolgt einen anderen Ansatz. Die Autoren kombinieren bekannte mathematische Werkzeuge mit einem neuen Perturbationslemma für sogenannte 2-Dilatationen. Auch damit erhalten sie die lange gesuchte Schranke 2.
Bemerkenswert ist eine weitere Parallele: Auch Lorist und Schwenninger geben an, ChatGPT bei der Suche nach möglichen Beweisstrategien eingesetzt zu haben. Geschrieben wurde die Arbeit nach Angaben der Autoren vollständig von ihnen selbst.
Quellen
- Shanmu Jin / Preprints.org: „The Numerical Range Is a 2-Spectral Set“, Version 4 vom 7. August 2026
- Alex Townsend und Anne Greenbaum: Beitrag zur Lösung der Crouzeix-Vermutung und zur Rolle von Shanmu Jin und ChatGPT
- Emiel Lorist und Felix Schwenninger / arXiv: „A solution to Crouzeix’s conjecture“, 4. August 2026
- Shanmu Jin / GitHub: Repository mit Manuskript, Prompt und Material zur Lean-Formalisation
- American Institute of Mathematics: Workshop zur Crouzeix-Vermutung, 2017
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