Mathematik zeigt, wann GPS in Städten unzuverlässig wird

Wer sich mit dem Smartphone durch eine Häuserschlucht navigieren lässt, kennt das Problem: Die angezeigte Position kann plötzlich springen. Für autonome Fahrzeuge, Vermessung oder andere Anwendungen mit hohen Genauigkeitsanforderungen sind solche Fehler erheblich kritischer. Der Mathematiker Peter J. G. Teunissen hat nun die mathematische Grundlage erweitert, mit der sich die Zuverlässigkeit hochpräziser GNSS-Positionsbestimmungen beurteilen lässt.

Ein wichtiger Baustein hochpräziser Satellitennavigation ist die sogenannte Integer Ambiguity Resolution. Dabei müssen aus den empfangenen Trägerphasensignalen ganzzahlige Mehrdeutigkeiten bestimmt werden. Ist diese Zuordnung korrekt, sind sehr genaue Positionsbestimmungen möglich. Ist sie falsch, kann auch das Positionsergebnis deutlich danebenliegen.

Bislang basieren verbreitete mathematische Modelle für die Erfolgswahrscheinlichkeit stark auf der Annahme normalverteilter, also Gaußscher Messfehler. Unter realen Bedingungen treten jedoch häufiger größere Ausreißer auf. Ursachen können Mehrwegeausbreitung durch reflektierte Signale, atmosphärische Störungen, Empfängerprobleme oder zeitweise verdeckte Satelliten sein. Solche sogenannten „heavy-tailed“-Verteilungen besitzen stärkere Randbereiche als eine Normalverteilung.

Rund vier Prozent Unterschied im Rechenbeispiel

Teunissen überträgt die bekannten mathematischen Grenzen für die Erfolgswahrscheinlichkeit nun auf eine größere Klasse solcher Verteilungen. Dazu gehören unter anderem die Student-t-Verteilung und sogenannte kontaminierte Normalverteilungen. Die Student-t-Verteilung ähnelt der Normalverteilung, lässt aber stärkere Ausreißer häufiger zu. Bei kontaminierten Normalverteilungen folgt der Großteil der Messwerte der üblichen Verteilung, während einzelne Ausreißer deutlich stärker abweichen. Der Vorteil: Die eigentlichen Berechnungsverfahren für die ganzzahligen Mehrdeutigkeiten müssen nicht verändert werden. Angepasst wird lediglich die statistische Beurteilung ihrer Zuverlässigkeit.

Wie groß der Unterschied sein kann, zeigt ein Beispiel aus der Studie. Bei einer Student-t-Verteilung mit drei Freiheitsgraden liegt die Erfolgsrate der betrachteten Mehrdeutigkeitsauflösung rund 4 % niedriger als im Grenzfall einer Gauß-Verteilung. Herkömmliche Modelle könnten die Zuverlässigkeit unter solchen Bedingungen entsprechend überschätzen. Für technische Anwendungen ist vor allem von Bedeutung . dass diese realistischere Risikobewertung laut Studie mit vergleichsweise geringem zusätzlichem Rechenaufwand möglich ist. Die vorhandenen Integer-Least-Squares-Algorithmen können weiterverwendet werden.

Potenzielle Einsatzfelder liegen insbesondere dort, wo Satellitensignale schwierigen Bedingungen ausgesetzt sind – etwa in Straßenschluchten, bei autonomen Fahrzeugen oder in sicherheitskritischen Navigationssystemen. Die Methode ist nicht auf die Satellitennavigation beschränkt. Sie kann auch bei anderen Verfahren eingesetzt werden, bei denen kontinuierliche Messwerte mit ganzzahligen Größen kombiniert werden. Mögliche Anwendungen gibt es etwa in der Radarinterferometrie und Quantensensorik.

Die Arbeit „Generalized integer least-squares success-rate bounds under heavy-tailed distribution“ wurde jetzt im Fachjournal „Satellite Navigation“ veröffentlicht.