KI widerlegt 87 Jahre alte Mathe-Vermutung, mit einem einzigen Gegenbeispiel

Die Frage klingt simpel und es reichen Erstsemester-Kenntnisse über Ableitungen und Matrizen, um sie zu verstehen. Trotzdem konnten Menschen sie in 87 Jahren nicht eindeutig beantworten – bis es jetzt ausgerechnet die KI in weniger als einem Monat geschafft hat.

Konkret geht es bei der Jacobi-Vermutung um Funktionen die aus Polynomen bestehen, und deren Jacobi-Determinante konstant und nicht null ist. Die Vermutung sagt, dass solche Funktionen eine Umkehrfunktion haben, die ebenfalls eine reine Polynomabbildung ist, dass man also immer eindeutig vom Ergebnis-Wert auf die Eingabewerte zurückrechnen kann.

Tatsächlich ist dem aber nicht so. Denn am 20. Juni postete der beim KI-Entwickler Anthropic angestellte Mathematiker Levent Alpöge ein konkretes Beispiel, das die Vermutung widerlegt. Gefunden hat den Gegenbeweis das neueste Modell der Firma, namens „Claude Fable 5“.

Rund um die KI-Lösung der Jacobi-Vermutung gibt es einiges an Drama, denn:

• Fable 5 war im Juni kurzfristig von der US-Regierung veranlasst, gesperrt worden, nachdem die Sorge aufkam, es könnte als Super-Hacker missbraucht werden, indem das Modell selbst gehackt wird (via Jailbreak). Seit Anfang Juli ist das Modell erst wieder verfügbar. Die Lösung des Mathe-Problems folgte 20 Tage später.
• Der mit Preisen ausgezeichnete Mathematiker Yitang Zhang schrieb in den 1990ern seine Doktorarbeit zum Beweis der Jakobi-Vermutung, doch die Arbeit scheiterte, wegen einer fehlerhaften Annahme, auf der alles aufbaute. Zwischenzeitlich arbeitete Zhang bei im Büro bei Starbucks, weil er danach lange keinen akademischen Job fand. Ein spektakulärer Beweis zu Primzahlen führte ihn dann aber wieder zurück auf die Karriereleiter und zu Professuren in den USA und China.
• Die Jacobi-Vermutung liegt auf Platz 16 der 18 schwierigsten Probleme des Jahrtausends von Mathematiker Stephen Smale, der diese Liste 1998 als moderne Nachfolge der berühmten Hilbertschen Probleme von 1900 zusammenstellte.
• Die Widerlegung der Jacobi-Vermutung für 3 und mehr Dimensionen gilt als das schwierigste von einer KI gelöste Problem bisher. Für 2 Dimensionen ist sie allerdings ungelöst, also weder bewiesen noch widerlegt.

Deutscher Mathematiker stellte das Problem bereits 1939 auf

Als Problem sauber formuliert wurde die Jacobi-Vermutung von dem deutschen Mathematiker Ott-Heinrich Keller. Er stellte die Vermutung offiziell für Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten auf – seither trägt sie seinen Namen, wird also auch „Keller-Vermutung“ genannt.

Der langjährige Mathematikprofessor starb jedoch bereits 1990 und erlebte die Lösung seines Problems nicht mehr mit. Bis zur Widerlegung mit Hilfe der neuesten KI-Modelle war die Jacobi-Vermutung 87 Jahre ungelöst. Eine Eklärung zur Lösung des Problems im Detail finden Sie hier auf Englisch mit Grafiken.

Warum der KI-Beweis Schockwellen durch die Mathematik-Gemeinschaft sendet

Das Besondere an diesem Beweis durch ein Gegenbeispiel ist, dass man es relativ leicht selbst nachrechnen kann, um es zu überprüfen. Unter Mathematikern werden solch simple Beweise als „elegant“ wertgeschätzt.

Alpöges KI-Widerlegung:

Die Abbildung

((1 + xy)³z + y²(1 + xy)(4 + 3xy), y + 3x(1 + xy)²z + 3xy²(4 + 3xy), 2x − 3x²y − x³z)

von C³ nach C³, hat die Jacobi-Determinante -2 und bildet die Eingabewerte

(0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2), und (-1, 3/2, 13/2)

alle drei auf den gleichen Punkt (-1/4, 0, 0) ab.

Damit steht fest, dass vom Ergebnispunkt nicht auf einen eindeutigen Eingabewert zurückgerechnet werden kann.

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Der Mathematiker und OpenAI-Mitarbeiter Aaron Lou setzte sich im Anschluss an die Veröffentlichung von Alpöge mit dem neuesten ChatGPT-Modell hin und kam innerhalb kurzer Zeit zur selben Lösung. Anschließend ließ er die KI ein sechsseitiges Paper dazu verfassen.

Das Beispiel zeigt, dass die Lösung schwierigster und jahrzehntelang ungelöster mathematischer Probleme mit KI zum Spaziergang wird, wenn die richtige Frage gestellt wird. Dabei hat die Maschine elegante und kreative Lösungswege gefunden. Jason Lee, der früher bei Google DeepMind in der Forschung gearbeitet hat und heute außerordentlicher Professor für Informatik und Statistik an der Uni UC Berkeley ist, antwortete auf Alpöges Post in den sozialen Medien mit „Die Mathematik ist gelöst.“ (Math is solved.)