Mehr als nur der Pythagoras

Was haben Wasserstoffbombe, Viagra und Internet gemeinsam? Ohne Computer wären sie niemals entwickelt worden. Genau genommen nutzen die Forscher die Formeln, die in der schnellen Rechenkiste stecken. „Doch alle reden vom Computer, kaum jemand von Mathematik“, klagte Peter Deuflhard, Präsident des Konrad-Zuse-Zentrums für Informationstechnik in Berlin. „Dabei ist die angewandte Mathematik eine verborgene Schlüsseltechnologie, die hier in Deutschland ein wichtiges Zentrum hat,“ so Deuflhard auf dem „Forschungspolitischen Dialog“ der Holtzbrinck-Verlagsgruppe vergangene Woche in Berlin.
„Ingenieure und Physiker sind es gewöhnt, alles selbst zu machen“, weiß Albert Gilg, Leiter des Siemens-Fachzentrums in München. Dabei kämen oft veraltete Berechnungsmethoden zum Einsatz. Deshalb unterhält Siemens eine eigene Arbeitsgruppe von zehn Mathematikern, die sich ausschließlich der Optimierung von Bauteilen widmen. Ein Schwerpunkt ist die Verbesserung elektronischer Chips. Dabei werden die Parameter variiert und in ihrer kombinierten Wirkung auf den Ladungstransport berechnet.
Technischer Fortschritt ist ohne ausgefeilte Mathematik nicht mehr denkbar. So entwickeln Mitarbeiter des Instituts für Halbleiterphysik in Frankfurt/Oder derzeit einen superschnellen Halbleiterchip für eine neue Generation von Handys. Der mit Germanium dotierte Siliziumtransistor soll Frequenzen bis zu 40 Gigahertz schalten. Gegenwärtig liegen die Sendefrequenzen im Megahertz-Bereich, also Größenordnungen darunter. „Kleinste Fehler bei der Herstellung führen aber dazu, daß der neue Chip nur noch acht Gigahertz schalten kann“, erläuterte Bernd Heinemann, wissenschaftlicher Mitarbeiter in der Forschergruppe. „Wir haben seinen Entwurf und die Herstellung mit Hilfe mathematischer Methoden optimiert und werden noch in diesem Jahr das erste Muster auf den Markt bringen.“ Gleichzeitig soll der Transistor nur noch 30 nm „breit“ sein, existierende Modelle sind noch rund 250 nm breit.
In Halbleitern sind sowohl freie Elektronen als auch unbesetzte Fehlstellen, sogenannte Elektronenlöcher, am Ladungstransport beteiligt. Die Berechnung der Chips geht auf das Drift-Diffusions-Modell des holländischen Physikers van Roosbroek aus dem Jahre 1950 zurück. Er verknüpfte rechnerisch die elektrostatischen Eigenschaften der beiden Ladungsträger mit der aus der Dotierung resultierenden Gesamtzahl der Ladungsträger. Zudem band er deren Fermipotentiale und die Gesamtstrombilanz in das nichtlineare Gleichungssystem ein. Er kam zu dem Ergebnis, daß die unterschiedlichen Ladungsträger sich nach verschiedenen Wahrscheinlichkeiten am Stromfluß beteiligen. Für moderne Chips, die wie in Handys über starke elektromagnetische Felder geschaltet werden, spielen neben den elektrischen Feldern auch die magnetischen Eigenschaften eine Rolle. Die Folge: Selbst die schnellsten Simulationsrechner stoßen an ihre Grenzen.
Kopfzerbrechen bereiten den Mathematikern auch lichtgesteuerte Vorgänge wie die pflanzliche Photosynthese oder Chips für Laser und Solarzellen. Der Energietransport durch Lichtquanten läuft sehr viel schneller ab als der Ladungsaustausch durch Elektronen, was durch mathematische Gleichungen kaum mehr zu bewältigen ist. „Dafür müßten die drei Hauptgebiete der Mathematik, die Numerik, die ganzzahlige Optimierung und die Wahrscheinlichkeitslehre, enger zusammenfinden“, so Jürgen Sprekels, wissenschaftlicher Direktor des Berliner Weierstraß-Instituts für Angewandte Analysis und Stochastik. Um die Mathematik in Deutschland zu stärken, regt er an: „Künftig muß der mathematische Anspruch eines Forschungsvorhabens auch bei der Vergabe von Fördermitteln stärker berücksichtigt werden.“ In Berlin vereinbarten die Experten ein „Berliner Netzwerk für Anwendungen in der Mathematik“, das interessierten Firmen den Zugang zu den Rechenkünstlern erleichtern soll. (http://www.zib. de/BerNAM/).
HEIKO SCHWARZBURGER
Bloßes Addieren hat mit den Anwendungen der Mathematik in der Elektronik nicht mehr viel zu tun. Vielmehr geht es um Simulation komplizierter licht- oder ladungsgesteuerter Vorgänge.