RMS: Das Maß für thermische Belastung

Heiße Motoren sind in keiner Anwendung erwünscht. Doch wie berechnet man eigentlich die thermische Belastung? Urs Kafader, der seit über 20 Jahren für die technische Ausbildung bei maxon motor am Hauptsitz im schweizerischen Sachseln verantwortlich ist, erklärt die Grundlagen.


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Bild 1
Abschätzung der Erhöhung von Wicklungs- (TW) und Gehäusetemperatur (TS) im Dauerbetrieb (ohne Berücksichtigung der Erwärmung durch Wirbelstromverluste) in Bezug auf die aktuelle Umgebungstemperatur (TA).
Rth1: thermischer Widerstand Wicklung – Gehäuse Rth2; thermischer Widerstand Gehäuse – Umgebung (kann von Montagebedingungen beeinflusst werden);
RTA: der elektrische Anschlusswiderstand bei aktueller Umgebungstemperatur;
I: die Strombelastung; αCU: Temperaturkoeffizient des elektr. Widerstands von Kupfer (ca. 0,004 K-1 ).
Der Nenner in der ersten Formel berücksichtigt die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstands. In Gleichung 2 agieren die thermischen Widerstände als „Spannungsteiler“ für die Temperatur.

Wie  heiß  wird  ein  Motor  im  Betrieb? Solche Temperaturabschätzungen sin  im Dauerbetrieb bei konstanter Last einfach zu realisieren. Nach genügend langer Zeit stellt sich ein thermisches Gleichgewicht ein, das mit Hilfe der thermischen  Widerstände  des  Motors  Rth1 und  Rth2 berechnet werden kann (Bild 1). Zuerst wird die Erwärmung der Wicklung  aus  der  Joule’schen  Verlustleistung  in  der  Wicklung berechnet, anschließend die Erwärmung des Motors als Ganzes (des Stators).

Belastung bei zyklischem Betrieb

Wie  sehen  die  Berechnungen  von  Bild  1  für  zyklischen Betrieb aus, mit einer Abfolge von unterschiedlichen Strombelastungen? Wird der Arbeitszyklus inklusive kurzer Pausen viele  Male  wiederholt?  Wird  sich  mit  der  Zeit  ein  thermisches Gleichgewicht einstellen? Aber wo liegt es?

Zur Berechnung der thermischen Belastung zieht man den Effektivwert des Stroms oder des Drehmoments bei. Dies ist ein quadratischer Mittelwert, der die überproportionale  Erwärmung  bei  hoher  Belastung  berücksichtigt und  von  der  Stromrichtung  unabhängig  ist.  Im  Englischen wird diese Mittelung als RMS (Root Mean Square) bezeichnet,  was  eine  perfekte  Anleitung  für  die  Berechnung  ist:  Man  nehme  die  Wurzel  aus  dem  zeitlichen Mittel  deraufsummierten  quadratischen  Belastungen. Als  Formel  sieht  dies  beispielsweise  für  den  Strom  wie folgt aus:

Dieser  RMS-Stromwert  wird  in  die  Formel  für  die  Erwärmung der Wicklung in Bild 1 eingesetzt. Analog könnte man auch die Drehmomente mitteln.

Beispiel: Erwärmung eines Motors im Handgerät

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Bild 2
Medizinisches Handgerät mit Elektromotor. Die Belastungsangaben zum Betriebszyklus sind:
Phase 1: 50 000 rpm; 10 mNm; 15 s on, 5 s off;
Phase 2: 1500 rpm; 25 mNm; 60 s on, 5 s off;
Phase 3: 600 rpm; 16 mNm; 30 s on, 60 s off;
Anzahl der Zyklen: 10

Ein sterilisierbarer Motor ECX Speed 22 L (36-V-Wicklung) soll  in  ein  medizinisches  Handgerät  eingebaut  werden. Während der 10 Zyklen soll die Temperatur um nicht mehr als 20 °C ansteigen. Da das Gerät direkt in  der  Hand  des Arztes  liegt,  darf  die Außenhülle  nicht  wärmer  als  40 °C werden.  Die  Belastungsangaben  zum Betriebszyklus : siehe Bild 2.

Können die thermischen Vorgaben erfüllt werden?

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Bild 3
Motor „maxon ECX Speed 22 L“. Ø 22 mm, bürstenlos, sterilisierbar

Dazu  zuerst  einmal  ein  paar  Überlegungen  zu  den  Belastungsdauern.  Ein Zyklus  inklusive  Pausen  dauert  fast  3  Minuten,  10  Zyklen  praktisch  eine halbe Stunde. Der Motor hat eine thermische  Zeitkonstante  von  etwas  über  8  Minuten,  sodass  am  Ende  der  10 Zyklen  das  thermische  Gleichgewicht praktisch erreicht wird. Somit können wir  im  Sinne  einer  Worst-Case-Betrachtung die Berechnungen für die Gleichgewichtstemperatur  anwenden. Dies  ist zusätzlich  gerechtfertigt,  da uns  nur  die  Gehäusetemperatur  interessiert,  welche  nur  träge  mit  der  schon  erwähnten  Zeitkonstante  reagiert.  Die  längste  Belastungsphase  ist mit 1 Minute nur ein Bruchteil davon, sodass  die Temperaturabweichungen am Gehäuse nur sehr gering sind.
Zu  den  geforderten  Drehmomenten gilt  es  festzustellen,  dass  alle  Werte bedeutend  kleiner  sind  als  das  Nennmoment  des  Motors  von  etwa 33 mNm.  Der  Motor  wird  also  nur schwach  belastet,  und  es  ist  mit einer kleinen Erwärmung zu rechnen.

Die  Drehzahl  ist  nur  in  den  ersten  15 Sekunden  wirklich  hoch,  sodass  wir die  Erwärmung  durch  Wirbelströme vernachlässigen können.
Lassen wir den Motor mit dem vorgegebenen Belastungszyklus laufen, so ist dies  aus  thermischer  Sicht  äquivalent mit einem Dauerbetrieb mit dem Effektivwert  oder  RMS-Wert  der  Belastung. Einsetzen  der  Drehmomente  in  die Berechnungsformel ergibt:

Der Motor hat eine Drehmomentkonstante von 6,11 mNm/A, sodass sich eine effektive Strombelastung von: I = 16,3 mNm / 6,11 mNm / A = 2,67 A ergibt.
Setzt  man  dies  in  die  Gleichung  zur  Erwärmung  der  Wicklung  in  Bild  1, ergibt das 15 Kelvin. Das Gehäuse erwärmt sich im Verhältnis der thermischen Widerstände etwas weniger, nämlich um ca. 14 Kelvin. Bei 20 °C Umgebungstem-peratur resultiert somit eine Gehäusetemperatur von knapp unter 35 °C. Beide  Werte,  Erwärmung  als  auch  Endtemperatur, liegen innerhalb der zulässigen  Grenzen.  Dies  gilt  auch,  wenn man die Temperaturvariationen innerhalb eines Arbeitszyklus von grob abgeschätzten +/- 3 Kelvin berücksichtigt.

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